Das Bild, das unser Toningeneursengel unseren Zuhörern gezeigt hat:
Mandelbrot-Menge
Chaosforschung
Zahlenfolge \(x_{neu} = x_{alt}^2 + 1\)
im ersten Moment langweilig
was ist x, wenn \(x^2 = -1 \rightarrow x = i\)
Zahlen in Ebene (statt auf Gerade) dargestellt.
und jetzt sehen wir uns wieder an, was mit der Formel oben passiert
nach wievielen Durchläufen ist das Ergebnis > 4?
je nach Ergebnis andere Graustufe, schöner andere Farbe
Das Ergebnis im Bereich von -2 bis +2 und -2i bis +2i sieht nett aus:
Das Programm dazu ist einfach
<canvas id="myCanvas" width="800" height="800"></canvas>
<script>
context = document.getElementById('myCanvas').getContext('2d');
for(x = 0; x < 800; x++) {
for(y = 0; y < 800; y++) {
i = zx = zy = 0
// Diese folgenden Zahlen 2 und 200 ändern,
// um in x-Richtung zu schieben und zu skalieren
cx = -2 + x / 200
// Die Folgenden Zahlen 2 und 200 ändern,
// um in y-Richtung zu schieben und zu skalieren
cy = -2 + y / 200
while(i < 255 && (zx * zx + zy * zy) < 4) {
xt = zx * zy
zx = zx * zx - zy * zy + cx
zy= 2 * xt + cy
i++
}
color = i.toString(16)
context.beginPath()
context.rect(x, y, 1, 1)
context.fillStyle = "#" + color + color + color
context.fill()
}
}
</script>
hübscher ist es mit einem Farbverlauf
und noch hübscher, wenn man die Farbstufen glättet
Interessantes ergibt sich, wenn man ein Detail ansieht: wieder in
Graustaufen, als Farbverlauf
und als geglätteter Farbverlauf.
Wir betrachten hier den Bereich -.64 bis +.64 und -.74 i bis + 0.74 i
Es gibt sehr schöne Videos, die eine Kamerafahrt in das Apfelmännchen machen
da das ‘nur’ Rechenaufwand bedeutet, kann man beliebig weit hinein zoomen und
entdeckt dabei immer neue Strukturen
The Hardest Mandelbrot Zoom Ever In 2014,10^198 :
New record - 350 000 000 iterations
Pinwheel of Infinity - Mandelbrot Zoom 9.336x10^341
Dieses Verhalten der einfachen Gleichung ist doch überraschend
Sehr eng bei einander liegende Gegenden sehen komplett unterschiedlich aus
Mathematiker bezeichnen so eine Struktur als Fraktal
Fraktale - Die Faszination der verborgenen Dimension - Dokumentation/Doku
Fibonacci Folge
in Stefans Jugend Forschungsgebiet mit Hype
zum Beispiel Hoffnung auf großartige Komprimierungsalgorithmen:
FiF
Erratum: Jpeg 200 (von Stefan im Podcast genannt) verwendet Wavelets zur Komprimierung und keine
Fraktale. Der Hype um sie ist ebenso abgeflacht, vielleicht hat sie Stefan deshalb verwechselt ;-) .
doch auch in der Öffentlichkeit bekannt:
Schmetterlingseffekt -> Wettervorhersage, Herzrhythmus
Weg in Spiele gefunden -> Landschaftsgenerierung mit Terragen
Fraktale in der Natur: Schneeflocken, Küsten,
Broccoli oder Blumenkohl
Neuronale Netze
Auch Eingang in die Wirtschaft gefunden ->
Unternehmenskultur fraktale Organisation
allerdings sind hier die Begriffe aus der Mathematik nur sinngemäß übernommen.
Heute ist Chaostheorie oder Fraktale in den Medien kaum mehr zu hören.
